Fractions and Cornflakes

Mit unseren Brüchen geht es gut voran. Brüche kürzen, Brüche erweitern, Brüche multiplizieren und dividieren, alles geht gut.
Die Frage, wofür im Leben man das braucht, sei nicht erlaubt. Ich bin immer noch auf der Suche nach jemanden, der tatsächlich aus beruflichen oder ähnlich wichtigen Gründen (Lehrpersonen ausgeschlossen) ab und zu so etwas wie „dreiundzwanzig Vierundvierzigstel dividiert durch neununddreißig Fünfundachzigstel“ ausrechnen muss.
Wir versuchen, es einfach als eine Art Zauberei anzusehen: die Brüche werden gekürzt, die Zahlen verändern sich, aber die Menge bleibt dieselbe, ebenso wie Wasser sich in den verschiedenen Aggregatzuständen in der Form verändert, aber dasselbe bleibt.

Con le nostre frazioni in matematica sta andando tutto molto bene. Siamo arrivati alla moltiplicazione e alla divisione.
Non é permesso chiedere perché bisogna essere in grado di fare le divisioni di frazioni, a cosa servirá questa capacitá nella vita di tutti i giorni. Sono ancora in cerca di qualcuno che (escluso insegnanti) per motivi professionali o altri motivi importanti deve fare operazioni tipo „ventitre quarantaquattresimi diviso trentanove ottantacinquesimi“.
No, cerchiamo invece di prenderlo come una specie di magia: si possono semplificare le frazioni e anche se i numeri cambiano, la quantitá é sempre quella, come l’acqua che cambia la sua forma a prescindere dallo stato della materia, ma rimane sempre acqua.

Wer erinnert sich nicht an die Regel: „Brüche werden dividiert, indem man den Kehrwert multipliziert“ – ?
Doch wie simpel es dann auch ist, die Rechnungen zu lösen, weil man einfach Hokuspokus beim zweiten Bruch Nenner und Zähler vertauscht und eine Multiplikation daraus macht,  ich frage mich: Wissen die Kinder, was sie da tun? Haben sie eine Vorstellung davon, was es heißt, Brüche zu dividieren?
Also machte ich mich auf die Suche nach einigen anschaulichen Beispielen.

Chi non si ricorda come funziona la divisione delle frazioni? „Bisogna moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda; e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.“
Ma anche se la tecnica in fondo é un gioco per ragazzi, mi chiedo se davvero i bambini sanno quello che stanno facendo, cioé: Riescono a immaginare la divisione di una frazione?
Cosí ho cercato alcuni esempi che rendano visibile la questione.

1. An diesem ganz einfachen Beispiel kann man nachvollziehen, dass die Sache mit dem Kehrwert auch wirklich funktioniert, denn die Rechnung kann man ganz einfach im Kopf lösen und überprüfen und verstehen, dass Bruchstrich und Divisionszeichen dasselbe bedeuten.

1. Questo ultrasemplicissimo esempio dimostra che la tecnica di far diventare la divisione una moltiplicazione funziona, si puó verificare senza problemi il risultato che ne esce.

2. Hier lautet die Frage: Wie oft hat 1/2 in 3/4 Platz? Auch das kann man sich gut vorstellen und man sieht an den Papierstücken: Ein Halbes hat in Drei Vierteln genau eineinhalb Mal Platz.

2. La domanda é: Quante volte ci sta 1/2 in tre quarti? Anche qui si puó immaginare bene il risultato e si vede con le frazioni di carta ritagliata: 1/2 in 3/4 ci sta una volta e mezza.

3. He-he, hier wird es kritisch. Wie oft hat 1/2 in 1/4 Platz? Zum Beispiel ein halber Liter Milch in einer Vierteltüte. Nein, das geht doch gar nicht, oder? Wir rechnen und sehen dann auch: ein Halbes hat in einem Viertel genau ein halbes Mal Platz!

3. Ora la cosa diventa un po‘ critica. Quante volte ci sta 1/2 in 1/4? Ad esempio mezzo litro di latte in un bicchiere di un quarto? Non si puó fare? Bene, facciamo i conti: 1/2 in 1/4 ci sta mezza volta.😉

4. Und nun zu den Cornflakes. In der Schüssel befinden sich 5 Esslöffel davon. Wieviele halbe Esslöffel (oder: Teelöffel) sind das? Genau doppelt so viele natürlich.

4. E ora é il momento dei cornflakes. In questa scodellina ce ne sono 5 cucchiai colmi. Quanti cucchiai-a-metá (oppure: cucchiaini) sono? Il doppio, naturalmente.

5. Letztes Beispiel. Wir haben eine Strecke von 1/6 Meter Länge. Wenn Ente Flauschi Schritte von 1/4 m Länge macht, wieviele seiner Schritte haben in der Strecke Platz?
Wir erkennen natürlich auf dem ersten Blick, dass die Ente bereits mit einem einzigen Schritt mehr als die Strecke bewältigt.

5. Ultimo esempio. Abbiamo un pezzo di strada di 1/6 metro di lunghezza. Se l’anatroccolo fa dei passi che sono lunghi 1/4 metro, quanti dei suoi passi ci vogliono per fare la strada?
Ovviamente si capisce subito che con un solo passo l’anatroccolo va ben oltre il limite della strada.

1/6 : 1/4 =
1/6 x 4/1 =
4/6
= 2/3

Also mit einem 2/3 Schritt schafft Flauschi die Strecke.
Wie ich schon sagte, bei den Brüchen ist es besser, kleine Schritte zu machen, denn „Können“ und „Verstehen“ sind zwei verschiedene Paar Schritte, ähm Schuhe!🙂

Dunque ci vuole un passo di 2/3 per il percorso.
Beh come dicevo l’altra volta, molte volte é meglio proseguire a passi piccoli per non rischiare di inciampare piú avanti, eh!🙂

5 Antworten zu Fractions and Cornflakes

  1. perfectioconversationis sagt:

    Io mi sono persa al punto 4… però spero che Sandro si sia ristorato divorando parte del materiale didattico, dopo tanta concentrazione!

    • Sybille sagt:

      A dire il vero ha preferito qualche… frazione… di torta al cioccolato, i cornflakes sono un po‘ scaduti e alla fine se li é mangiati il coniglio!🙂

  2. CCETSI sagt:

    Das ist super!!! Davon werden wir uns sicher inspirieren! Ich danke dir, dass du uns so viele tolle, so gut ausgearbeitete Themen schenkst! Ich hoffe ich kann dir auch wieder einmal dienen. Dann stimmt der Satz völlig: Homeschooler are notorious for helping eachother!

  3. Francesca sagt:

    Marta ha fatto le divisioni di frazioni all’inizio di quest’anno scolastico e anche lei mi chiedeva meravigliata a che cosa mai le sarebbero servite nella vita!!! Però sono divertenti, dai! Delle divisioni che magicamente diventano delle moltiplicazioni sono affascinanti…
    Un bacio
    Francesca

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