Fractions and Cornflakes

Mit unseren Brüchen geht es gut voran. Brüche kürzen, Brüche erweitern, Brüche multiplizieren und dividieren, alles geht gut.
Die Frage, wofür im Leben man das braucht, sei nicht erlaubt. Ich bin immer noch auf der Suche nach jemanden, der tatsächlich aus beruflichen oder ähnlich wichtigen Gründen (Lehrpersonen ausgeschlossen) ab und zu so etwas wie „dreiundzwanzig Vierundvierzigstel dividiert durch neununddreißig Fünfundachzigstel“ ausrechnen muss.
Wir versuchen, es einfach als eine Art Zauberei anzusehen: die Brüche werden gekürzt, die Zahlen verändern sich, aber die Menge bleibt dieselbe, ebenso wie Wasser sich in den verschiedenen Aggregatzuständen in der Form verändert, aber dasselbe bleibt.

Con le nostre frazioni in matematica sta andando tutto molto bene. Siamo arrivati alla moltiplicazione e alla divisione.
Non é permesso chiedere perché bisogna essere in grado di fare le divisioni di frazioni, a cosa servirá questa capacitá nella vita di tutti i giorni. Sono ancora in cerca di qualcuno che (escluso insegnanti) per motivi professionali o altri motivi importanti deve fare operazioni tipo „ventitre quarantaquattresimi diviso trentanove ottantacinquesimi“.
No, cerchiamo invece di prenderlo come una specie di magia: si possono semplificare le frazioni e anche se i numeri cambiano, la quantitá é sempre quella, come l’acqua che cambia la sua forma a prescindere dallo stato della materia, ma rimane sempre acqua.

Wer erinnert sich nicht an die Regel: „Brüche werden dividiert, indem man den Kehrwert multipliziert“ – ?
Doch wie simpel es dann auch ist, die Rechnungen zu lösen, weil man einfach Hokuspokus beim zweiten Bruch Nenner und Zähler vertauscht und eine Multiplikation daraus macht,  ich frage mich: Wissen die Kinder, was sie da tun? Haben sie eine Vorstellung davon, was es heißt, Brüche zu dividieren?
Also machte ich mich auf die Suche nach einigen anschaulichen Beispielen.

Chi non si ricorda come funziona la divisione delle frazioni? „Bisogna moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda; e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione.“
Ma anche se la tecnica in fondo é un gioco per ragazzi, mi chiedo se davvero i bambini sanno quello che stanno facendo, cioé: Riescono a immaginare la divisione di una frazione?
Cosí ho cercato alcuni esempi che rendano visibile la questione.

1. An diesem ganz einfachen Beispiel kann man nachvollziehen, dass die Sache mit dem Kehrwert auch wirklich funktioniert, denn die Rechnung kann man ganz einfach im Kopf lösen und überprüfen und verstehen, dass Bruchstrich und Divisionszeichen dasselbe bedeuten.

1. Questo ultrasemplicissimo esempio dimostra che la tecnica di far diventare la divisione una moltiplicazione funziona, si puó verificare senza problemi il risultato che ne esce.

2. Hier lautet die Frage: Wie oft hat 1/2 in 3/4 Platz? Auch das kann man sich gut vorstellen und man sieht an den Papierstücken: Ein Halbes hat in Drei Vierteln genau eineinhalb Mal Platz.

2. La domanda é: Quante volte ci sta 1/2 in tre quarti? Anche qui si puó immaginare bene il risultato e si vede con le frazioni di carta ritagliata: 1/2 in 3/4 ci sta una volta e mezza.

3. He-he, hier wird es kritisch. Wie oft hat 1/2 in 1/4 Platz? Zum Beispiel ein halber Liter Milch in einer Vierteltüte. Nein, das geht doch gar nicht, oder? Wir rechnen und sehen dann auch: ein Halbes hat in einem Viertel genau ein halbes Mal Platz!

3. Ora la cosa diventa un po‘ critica. Quante volte ci sta 1/2 in 1/4? Ad esempio mezzo litro di latte in un bicchiere di un quarto? Non si puó fare? Bene, facciamo i conti: 1/2 in 1/4 ci sta mezza volta. 😉

4. Und nun zu den Cornflakes. In der Schüssel befinden sich 5 Esslöffel davon. Wieviele halbe Esslöffel (oder: Teelöffel) sind das? Genau doppelt so viele natürlich.

4. E ora é il momento dei cornflakes. In questa scodellina ce ne sono 5 cucchiai colmi. Quanti cucchiai-a-metá (oppure: cucchiaini) sono? Il doppio, naturalmente.

5. Letztes Beispiel. Wir haben eine Strecke von 1/6 Meter Länge. Wenn Ente Flauschi Schritte von 1/4 m Länge macht, wieviele seiner Schritte haben in der Strecke Platz?
Wir erkennen natürlich auf dem ersten Blick, dass die Ente bereits mit einem einzigen Schritt mehr als die Strecke bewältigt.

5. Ultimo esempio. Abbiamo un pezzo di strada di 1/6 metro di lunghezza. Se l’anatroccolo fa dei passi che sono lunghi 1/4 metro, quanti dei suoi passi ci vogliono per fare la strada?
Ovviamente si capisce subito che con un solo passo l’anatroccolo va ben oltre il limite della strada.

1/6 : 1/4 =
1/6 x 4/1 =
4/6
= 2/3

Also mit einem 2/3 Schritt schafft Flauschi die Strecke.
Wie ich schon sagte, bei den Brüchen ist es besser, kleine Schritte zu machen, denn „Können“ und „Verstehen“ sind zwei verschiedene Paar Schritte, ähm Schuhe! 🙂

Dunque ci vuole un passo di 2/3 per il percorso.
Beh come dicevo l’altra volta, molte volte é meglio proseguire a passi piccoli per non rischiare di inciampare piú avanti, eh! 🙂

Little Steps

Zugegeben, manchmal mache ich etwas weniger gern die Tür auf, wenn am Nachmittag meine Nichte klopft und meine Hilfe für ihre Aufgaben in Mathematik erbittet. Viel von der Zeit, in der ich nicht direkt mit Sandro arbeite, brauche ich für Vorbereitung und Zusammenstellung von Lernmaterialien. Am späten Nachmittag kommt dann John von der Schule und braucht auch meistens etwas Unterstützung beim Lernen: Abfragen, Kontrollieren, Erklären.

Lo ammetto, non sempre di pomeriggio apro con gioia la porta quando mia nipote bussa per chiedere il mio aiuto nei compiti di matematica. Molto di quel tempo che non trascorro con Sandro, mi serve per preparare delle unitá, del materiale per il giorno dopo. Il pomeriggio tardi torna John dalla scuola e spesso pure lui ha bisogno di un po‘ di aiuto: fargli delle domande sul testo che deve studiare, dare un’occhiata agli esercizi, spiegare qualcosa.

Andererseits ist es für mich auch sehr nützlich, den Lernweg meiner Nichte mitverfolgen zu können. So konnte ich etwa feststellen, dass sie im Grunde die Sache mit den Brüchen immer noch nicht wirklich begriffen hat. Natürlich befasst man sich in der zweiten Klasse Mittelschule nicht mehr mit „Wieviel Viertel sind in einem Halben?“ sondern mit Umwandlung in Dezimalzahlen, Brüchen in Klammerrechnungen und mit allen Grundrechnungsarten. Doch ganz deutlich ist zu erkennen: sie beherrscht zwar die meisten Rechenregeln und -techniken, aber auf eine Art und Weise, wie jemand Sätze in einer fremden Sprache korrekt aufsagt ohne deren Sinn zu verstehen. Kein Wunder, wenn man dann keine Freude an Mathematik hat und sich von Schularbeit zu Schularbeit quält.

Dall’altra parte ammetto che osservare il percorso che fa mia nipote, in seconda classe di scuola media, puó essere interessante. Ad esempio ho notato che in matematica la storia delle frazioni, in fondo in fondo, lei non l’ha ancora capita. Certo, é capace di svolgere quasi tutti gli esercizi come si deve, conosce le regole e le tecniche, e ovviamente in seconda classe fanno degli esercizi piú complicati di quelli che vedete in queste foto. Ma é veramente evidente, me ne accorgo soprattutto quando le devo spiegare uno dei suoi errori: le frazioni ancora non sono parte di lei, é come una persona che recita perfettamente un testo in una lingua straniera senza capire una parola di quello che dice. Non mi meraviglio che cosí non ci sia traccia di gioia e soddisfazione verso la matematica e che si tratta solo di „sopravvivere“ da un test al prossimo.

Diese Beobachungen und Überlegungen führen dazu, dass ich etwa gerade beim Thema Brüche mit Sandro ganz langsam weitergehen möchte, Schritt für Schritt. Mir ist wichtig, dass er die Basis wirklich begreift und verinnerlicht, und nicht nur einfach die gestellten Übungen problemlos bewältigt.

Queste osservazioni mi portano a pensare che é meglio andarci con i piedi di piombo, passo per passo. Ritengo importantissimo che Sandro comprenda davvero in profonditá le cose di base, sulle quali costruire poi, e non sono soddisfatta se é capace „soltanto“ di svolgere gli esercizi in modo corretto.

Er findet derzeit die Spiele und Übungen, die ich ihm vorschlage, etwas einfach. Immer wieder hake ich nach, er solle mir doch erklären, warum dies so und so sei, und wie er zu diesem und jenem Ergebnis komme.
Es wäre zwar verlockend, rasch weiterzugehen mit immer schwierigeren Übungen, um den Lernstoff schnell „hinter sich gebracht zu haben“ – ja, es ist ein schönes Gefühl, wenn man nach und nach die erreichten Ziele vom Lernprogramm abhaken kann. Doch ich habe es vor allem mir selbst versprochen, in Dingen Grundwissen langsam und Stück für Stück aufzubauen, ich denke es lohnt sich.

Ovviamente mi dice che questo tipo di esercizio, che gli sto proponendo, é fin troppo facile. Io poi gli chiedo in continuazione: perché qui hai fatto cosí? Mi spieghi come sei arrivato al risultato? ecc. Certo, sarebbe bello proseguire in fretta con il programma, proporre esercizi piú difficili per arrivare presto all’obiettivo. Ma l’ho promesso a me stessa, di andarci piano, di costruire bene le fondamenta, perché credo siano indispensabili per tutto quello che verrá poi.

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Wen’s gerade interessiert, hier findet man ganz viel Material zumThema Brüche. Übungen, Spiele, Rätsel, Leichteres und Schwereres:
Se a qualcuno interessa, qui si trova moltissimo materiale sul tema frazioni, esercizi, giochi, semplici e piú complessi:

LL-Web
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MontessoriMaterials: fractions
Unterrichtsmaterial: Brüche
Klapptest, z. B. Brüche addieren